@Lenciel

欧拉恒等式是啥意思(1)

欧拉公式的名号很多,比如「最美公式」,「上帝公式」…我俩都很喜欢的费曼称其为「我们的珍宝」和「数学中最非凡的公式」:

\[e^{i\theta} = cos(\theta) + isin(\theta)\]

我给你看Alan Becker 的视频不能翻墙的同学可以看看 B 站上的搬运时你第一次看到了「欧拉恒等式」,也就是欧拉公式当 \(\theta=\pi\) 时的特定形式:

\[e^{i\pi} + 1 = 0\]

后来你在别的书上又看到了,就来问:「有人说它最美是因为欧拉找出了数学里五个最重要的数字(\(e\)、\(\pi\)、\(i\)、\(0\)、\(1\))如此简洁的关系。但,这个式子究竟啥意思?」

我说,这问题有个很简洁的答案:它之所以也被称为「上帝公式」是因为普通人记住它是这样的就行了,至于为什么,那是上帝才知道的事情,呵呵呵呵…

当然,这只是我为了好好回答这个问题争取点儿时间。下面我就试着用你能理解的方式正经的推导证明大概是把那三坨东西都泰勒展开,这个就以后你自己玩吧。 聊聊,欧拉公式究竟啥意思。

目录

要理解欧拉公式,先要解决那两个你不太熟悉的数:

  • 虚数单位:\(i\)
  • 自然对数的底:\(e\)

为了搞明白它们,我们得先看看数系。

数系

数系就是数字的体系。

数学的发展,伴随着数系从掰手指头的自然数,往整数、有理数、无理数、实数、虚数等复杂体系的发展。

自然数

「自然数」的英文是 Natural Numbers,使用 \(\mathbb{N}\) 来表示,写成集合的形式就是:

\[\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \dots \}\]

因为人们一开始只有加法,而这个计算对自然数来说是「封闭的」——也就是两个自然数怎么加也还是自然数——所以相当长一段时间,自然数就够用了。

但是减法的出现破坏了封闭性。比如 \(2-3\) 的结果显然没法用自然数来表示,于是整数出现了。

整数

「整数」的英文是 Integer,但是记号却是 \(\mathbb{Z}\) ,这是因为取了德语 版本的首字母。它的集合形式是:

\[\mathbb{Z} = \{ \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots \}\]

整数的加减法计算都是封闭的,但是乘除出现之后,人们发现除运算是不封闭的,于是有理数出现了。

有理数

「有理数」的英文是 Rational Numbers关于英文里用 rational 是不是从 ratio 来的,以及翻译成中文的时候为啥叫「有理」,一直有一些传说,我比较同意这里的说法,记号是 \(\mathbb{Q}\) ,这是取了德语「商(Quotient)」的首字母,因为定义是分母非零的两个整数相除的商,表示成集合就是:

\[\mathbb{Q} = \{ \frac{m}{n} \text{ : } m\in \mathbb{Z}, n\in \mathbb{Z}, n\neq 0 \}\]

有理数的加减乘除计算都是封闭的,但是乘方开方出现之后,人们发现开方运算是不封闭的,于是无理数出现了。

你可能会问,人们为啥不停发明这些破坏封闭性的运算方式呢?比如开方乘方,平时生活中好像没什么用。

因为这是公元前 500 年左右,当时搞数学是代数和几何一起搞的。比如毕达哥拉斯和他带领的以他名字命名的「毕达哥拉斯学派」,一天到晚都在倒腾线段、三角、矩形、圆…他们独立发现了勾股定理,当然就会用到乘方和开方开方的符号本来是拉丁语表示边长的「latus」的首字母变形。是后世的包括笛卡尔在内的数学家做了一些变化才写成了今天的样子。 :实际上正是这个学派的希帕索斯在计算等腰直角三角形的边长时,找到了第一个无理数 \(\sqrt{2}\),触发所谓的「第一次数学危机」,也给自己带来了厄运。

无理数、实数、虚数和复数

「无理数」的英文是 Irrational Numbers,它无法表示成两个整数的比值,常被说成「无限不循环的小数」。

人们把「无理数」和「有理数」的集合被称为「实数」,英文是 Real Numbers,记作 \(\mathbb{R}\) ,它可以表示一根数轴上的所有数,对当时大部分计算都够用了。但仍然有一些情况,比如求解一些一元高次方程的时候,会有负数开根号的情况出现。

到了十七世纪,笛卡尔把这些负数根称为虚数,英文是 Imaginary Numbers,表达它们没有意义。但很快,棣莫弗和欧拉觉得,如果把 \(\sqrt{-1}\) 记为一个虚数单位,定义形式如下的数为复数(英文是 Complex Numbers):

\[\mathbb{C} = \{ a+b*\sqrt{-1} \text{ : } a\in \mathbb{Z}, b\in \mathbb{Z} \}\]

它也就从实数的一根数轴扩展为一个复平面。

后来欧拉觉得 \(\sqrt{-1}\) 写起来复杂,简化成了 \(i\),这就是 \(i\) 的由来。

特殊的无理数

常用的无理数大都有特殊含义。有些比较好理解,比如圆周率 \(\pi\),比如 \(\sin45°\)。

被称为「欧拉数」的,颇为拗口的「自然对数的底」 \(e\) 又是什么意思,为啥它约等于 2.71828?

\(e\) 与复利问题

实际上 \(e\) 这个数不是欧拉发现的,而是 Jacob Bernoulli 在研究复利的问题时算出来的:

在一年还清的利滚利业务中,借款利率和还款频率是比例关系(比如一年一次还款利率 100%,半年一次 50%,一个季度一次 25%,以此类推)。放贷的人想知道,如果把还款周期变得很短,虽然每个周期利息看起来很低,但总利息会不会变得很高,自己能靠这个发财。

这是个典型的复利问题。你借了 1 块钱,还款周期 1 年,那么还钱的时候总共的本息是:

\[1+1*100\%=2\]

如果还款周期变成半年,利率也折半,那么半年时的本息总和为:

\[1+1*\frac{100\%}{2}=1.5\]

年底的时候利滚利应还:

\[(1+1*\frac{100\%}{2})^2=2.25\]

以此类推,如果还款周期变成一个季度,利率变成 25%,那么年底的时候利滚利应还:

\[(1+1*\frac{100\%}{4})^4=2.44140625\]

这么看来,利息确实在不断增加,放贷的大哥想法好像是成立的。但如果实际去算算就会发现,在周期不断变小的过程中,利息增加的速度会迅速下降,超过 2.5 之后就增长非常缓慢了:

Jacob Bernoulli 也发现了这点。他最终通过计算得出,总利息收益不会一直增加,而是收敛到 2.71828 附近,不信你也试试:

这个数为什么被称为欧拉数这本书里面有详细的讲解,也推荐看看这篇文章

首先是那个时候研究这个无理数的人很少。欧拉用自己名字的首字母 \(e\) 表示这个无理数(虽然莱布尼茨在他之前用 \(b\) ),然后在发表的文章以及给其他数学家的信件里大量使用,慢慢地其他人也就接受了。

其次,最重要的是,他确实在这个无理数的研究上做出了突出贡献。比如 1748 年,他在《Introductio in Analysin infinitorum》里证明了:

\[e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + ...\]

在此基础上,他不但给出了 \(e\) 小数点后 18 位的近似值,它与正弦和余弦函数的关系,还讨论了一些有趣的连分式展开还记得之前我们聊过的,连分式展开的主要作用就是用有理数表示无理数。 ,比如:

\[\frac{e-1}{2} = \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{14+\cdots}}}}\]

这个看起来很不自然的数为什么又跟自然对数有关系,又怎么跟 \(\pi\) 关联上的,最终出来了欧拉公式,我们就下回再说…

如何评价斯内普教授?

答这个问题花的时间更长,因为要读完《哈利·波特》,可比《根鸟》或者《小王子》要费劲儿多了。

看完之后我能理解你对斯内普教授的奇怪感受:「这究竟是个好人还是坏人?」

其实,我猜斯内普教授自己也搞不清自己算一个好人还是坏人。

所以喜欢或憎恶,以自己感受为准就好,不用太在乎其他人怎么说。

我只聊聊看完这套书的一些发现。

首先,我能理解它大获成功。

哈利·波特之前,已经有很多孤儿、弃婴、私生子、被人调包的孩子,担任过流行小说的主角。

光说英国,就有《远大前程》里的匹普、《雾都孤儿》里的奥利弗,以及《简·爱》《汤姆·琼斯》这些干脆就用倒霉蛋们的名字命名的小说。

为什么?一方面,这类人往往一文不名,遭人轻贱。看到他们在世上打拼,靠自己的努力改变命运,会激发我们的同情与赞赏。

另一方面,可能更重要的是,世界上大多数人,都觉得自己遭遇着不公或者不自由。

家庭生活中,觉得不满意的已经大有人在。社会生活中就更加如此:学生觉得学校瞎管,工人觉得工厂糟糕,社会人觉得社会是个假父亲,很少履行义务,反而让自己承担所有责任。

但普罗大众,掣肘太多,只能抱怨。反而是两手空空的孤儿们,比较容易打破现状,采取行动。在D. H. 劳伦斯的《儿子与情人》中,保罗·莫雷尔算是亲手解决了家人,才好去追求自己想要的生活。 因此,对这些角色,我们不仅仅有同情和赞赏。我们感同身受地理解他们的孤寂与焦虑,钦佩他们的奋斗和抗争。

那么,爽文那么多,为什么偏偏是《哈利·波特》作为「儿童文学」这样流行?

我想,哈利·波特和其他孤儿故事相比,有个明显的特点,就是它的结构更适合小朋友。

大部分严肃文学作品里的成长故事,要走一个环回:人物从低到尘埃,到呼风唤雨,往往还要再次回到原点,才会有实质性的感悟和进步。借 T. S.艾略特在《四个四重奏》中的话,「必须返回起点,才能真正认识它。」所以远大前程里那个仙女叫 Havisham,暗示,「拥有(have)」只是「假象(sham)」,到头来却黄粱一梦,万事皆空。

哈利·波特并没有跌回去,因为他根本没有跌回去的机会:表面上看,他在德斯利家跟简·爱在里德家一样凄惨,但实际上,哈利有霍格沃茨,那才是他真正的家。而且在那个家里,他身世显赫,父母法术高强且备受爱戴。

所以,跟那些要逆天改命的孩子不同,他由魔法加持的成长道路是一直往上,不会坍塌的。

最后,我们讲回来,我怎么看斯内普教授。

《哈利·波特》是文学作品而不是修仙爽文,是因为故事里有很多魔法无法解决的问题。

在飞行,燃烧,隐身甚至夺人性命等方面,魔法大获全胜。

在名利权情的矛盾斗争中,魔法无能为力。

斯内普因为爱着哈利的母亲,愿意背叛自己的信仰,甚至扛下所有的误会和敌意,冒着生命危险去保护哈利。

同样也正是因为无望地爱着哈利的母亲,他浑身散发着痛苦、冷漠和怨恨,对哈利的敌意时常流露。

矛盾吗?其实爱与恨,善与恶,也许同宗同源,并非世人吹嘘的那样势不两立。

不信我们再看看邓布利多。他暗中布局拯救哈利的过程中,把其他人当棋子一般操纵和摆布,这究竟是善还是恶?

甚至我们看看哈利。他额头上可以和伏地魔联网的伤疤,直接把他本人变成了光明与黑暗力量角逐的战场。这类故事其实常常有这个设定:成为最强的人之后,需要打败的往往就是自己如果不是写给小朋友,我看哈利多半要像《暗黑破坏神》里的塔·拉夏一样,消灭自己,才能避免给人类带来厄运。

因为真正的敌人,常常来自我们的内心。