@Lenciel

如何计算圆周率

Matt 这两天告诉我,既然 \(\pi\) 是一个无理数,也就是每一位没有什么规律和道理,那人究竟是怎么把它每一位是多少算出来的呢?

圆周率历来被数学史家认为是衡量一个民族古典数学文明之发达的尺度。

中国古代在很早的时候就开始使用「周三径一」的圆周率, 也就是取圆周率为 3 。

公认最早「优秀地」算出圆周率的,应该是要用一个支点翘起地球的阿基米德。他使用的割圆法也是最容易掌握的徒手计算圆周率的方法:当时他用了正六边形,算出来 \(\pi = 3.14\) 。

中国的刘徽,也独立的发现了「割圆术」。他用正 96 边形,割出了 3.1416 这个结果1

简单来说,「割圆法」和「割圆术」的区别主要是,一个用长度,一个用面积,来计算比例和结果。

最有争议的是南北朝数学家祖冲之的成就。他自己的著作《缀术》,曾经在唐代初期被收录在《算经十书》中,选作当时国子监算学馆的教材。但因为内容十分艰深,习者寥寥(有说法学这本书需要四年), 因此, 在北宋重新刊刻《算经十书》时, 它已经失传。

好在,唐初编撰《隋书》,在《隋书·律历志》里对祖冲之的结论有准确的记载:

古之九数,圆周率三,圆径率一,其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒,各设新率,未臻折衷。宋末,南徐州从事史祖冲之,更开密法,以圆径一亿为一丈,圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正数在盈朒二限之间。密率,圆径一百一十三,圆周三百五十五。约率,圆径七,周二十二。又设开差冪,开差立,兼以正圆参之。指要精密,算氏之最者也。所著之书,名为《缀术》,学官莫能究其深奥,是故废而不理。

可以看到祖冲之的成果有两个:

  1. 圆周率在盈数(3.1415926)和朒数(3.1415927)之间,用现代数学的话来说,就是 \(3.1415926< \pi < 3.1415927\) ;
  2. 提出了两个圆周率的近似率:密率(\(\frac{355}{113}\))和约率(\(\frac{22}{7}\))

这个成就非常厉害:

  • 首先,它保持了世界最准确圆周率达 900 年之久;
  • 其次,在分母 < 16604 的一切有理数中, 密率 \(\frac{355}{113}\) 是最接近圆周率的分数。

那么,他怎么算出来的呢?

很多地方2认为他还是用的「割圆术」,只不过他采用了 24576 边形来割。

我是不太相信任何聪明人会用这种笨办法的。而且,要精确作图和测算两万多边形,在当时的工具条件下,好像也不现实。

所以,华罗庚曾经推测, 它应当是连分数展开或与之相当的算法的产物3。这样的联想也很容易理解,因为祖冲之给出的约率和密率都是分数,而连分数一个主要的用途就是拿有理数表达无理数4,比如:

\[\sqrt{2} = 1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cdots}}}\]

但这个说法也有点牵强,因为祖冲之除非事先知道 \(\pi = 3.1415926\) ,并且知道连分数,然后反算出来:

\[\pi = 1+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{15+\cdots}}}\]

来得出圆周率的渐进分数\(\frac{3}{1}\),\(\frac{22}{7}\) ,\(\frac{333}{106}\) ,\(\frac{355}{113}\)…不然他的分母是怎么来的呢?为什么不是高斯那样:

\[\pi = 4 \div \left(1+\cfrac{1\cdot1}{3+\cfrac{2\cdot2}{5+\cfrac{3\cdot3}{7+\cdots}}}\right)\]

或者朗格那样:

\[\pi = 3+\cfrac{1\cdot1}{6+\cfrac{3\cdot3}{6+\cfrac{5\cdot5}{6+\cdots}}}\]

所以,我之前偶尔看到一位大学教授专门写了一篇 blog,在里面列举了从瓦里斯到泰勒到高斯到朗格的各种跟 \(\pi\) 有关的序列和级数,最后喟然长叹,\(\frac{355}{113}\)怎么可能是算得出来的呢?

我看过的最让我信服的说法是,祖冲之可能是用了何承天调日法

调日法是一种系统地寻找最佳逼近以表示天文数据或数学常数的内插法,用它来计算圆周率,在这篇论文里面有比较详细地描述。

我觉得这种说法最可信是因为:

  1. 两个人同在南北朝,祖冲之自己也是历法专家,且熟练使用调日法。
  2. 祖冲之它只需要以 3 为弱率,以 4 为强率,计算 7 次就可以得到约率 \({22 \over 7}>\pi\) ,计算 23 次就可以得到密率 \({355 \over 113}>\pi\)。

References:

  1. 为了验证这个近似值的正确性,刘徽自己又继续割圆到圆内接3072边形,结果也是 3.1416 。后来就有人误认为刘徽是一直割圆到圆内接3072边形才得到结果的。 

  2. 这可能主要是因为,清阮元撰《畴人传》里考据说:「后祖冲之更创密法,仍是割之又割耳,未能于徽注之外,别立新术也」。这个说法也被吴文俊主编的《中国数学史大系》采信。 

  3. 连分数就是 \(a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cdots}}}\) 这种造型的,分母都为 1, 分子是正整数的连着的分数。它还有一个写法是 \([a_1,a_2,a_3,\cdots]\)。 

  4. 这是数论里面的一个分支,叫做丢番图逼近。 

控制WIP,多点儿幸福感

I) TL;DR

经济下行周期,劳资双方的矛盾通常会比较激烈。

你跟老板们聊天,个个感觉自己累成了狗,结果赚不到钱,融不到资,还常常看到下面的员工躺平。

你跟员工们聊天,个个感觉自己没有盼头,公司朝不保夕,裁员没完没了,手里面的事情却一点儿没少。

今天聊聊,怎么通过控制 WIP,让大家多少有点幸福感。

WIP,就是 Work-In-Progress ,指处于「进行中」状态的工作。

我的团队一直很注意控制 WIP 的数量。甚至以前在产研的时候,因为所有的任务分配都是基于JIRA,我们会用脚本统计每个人 WIP 的情况,作为一个主要的管理指标。

这么做不仅仅是因为减少上下文切换会让你舒服一点这样偏感性的原因,而是人类从结构上就不适合这么工作。

II) Why

人类学家 James Suzman 有一本书,叫《Work: A History of How We Spend Our Time》。他整个思路的源头,其实是 Richard Lee 在上个世纪六七十年代,对非洲南部卡拉哈里沙漠里 Ju/’hoansi 人的研究。

1963年, Richard Lee 得知卡拉哈里沙漠有个自然条件特别恶劣的的半干旱地区,住着四五百号 Ju/’hoansi 人。因为这里既没法耕种也没法放牧,20 万年来,他们始终保持着通过狩猎和采集来维持生计。

Lee 认为,这些人的生活不知道有多么艰苦和危险,于是跑去研究。

经过 15 个月的实地研究,结果出来了:这些人即使在干旱期,也吃得很好,并且每周大概只需要「工作」40 个小时。

Lee 在论文里写到:「自然状态下的生活不一定是肮脏、野蛮和朝不保夕的」。

这个研究引起了一些争议,但几乎在同一时间,另一位人类学家 James Woodburn 在东非观察一个原始部落,得出了非常类似的结论。

James Woodburn 甚至给这种农业社会之前的经济形态起了个名,叫「immediate-return economy」。也就是说,狩猎或者采集,你的收获是及时反馈的,不像农业社会,春种秋收。

后续有大量的研究围绕着这些结论展开(比如 Nature 上 2019 年有篇文章,坐实了农民比猎人需要多花 20% 的时间去劳作;再比如有人去研究,为啥科学家经常在散步的时候得到灵感)。但,它跟我开头说,控制 WIP,多点儿幸福感有啥关系?

首先,在现代工作中,我们付出的努力不仅仅不是「immediate-return」跟农业社会比,验证周期也变得更长了。

其次,在不确定性上,再叠加一个多线程,就更痛苦了。

最后,在长反馈周期,多线程的基础上,再叠加一个工作时间的增加,就更更更痛苦了。

所以,你得明白,自己的大脑,本来是为处理一周 40 个小时左右,能够迅速拿到反馈的,单一目标的任务,进化来的。这么工作了几十万年,突然要面对充满未读信息的邮箱或者订满会议的日历,感到痛苦和挣扎,是正常的。

那怎么才能降低 WIP 呢,这肯定根据你的工作类型和所处行业很不一样,我只能分享一点我的做法。

III) How

1)使用 Done List 而不是 Todo List

要管理好 WIP 首先你得知道自己有多少 WIP:有什么工具不是那么重要,甚至纸笔都行。

然后,因为我是个不太自律的人,一直用不好 Todo List。所以我用 Done List,每天自己觉得最主要的三件事干完,就开始比较发散的干别的。

2)增加工作结果的可见性

理解了「及时的回报」对人类大脑的重要性,就要有意识的设计相应的奖励。

举个例子,很多公司的研发团队会有施工队的感觉。通过增加一些反馈机制,让工程师知道自己加班加点上线的功能,究竟服务了多少用户,带来了多少订单,是个成本很低但效果很好的管理手段:它也一定程度上会让产品经理提需求的时候更认真更负责。

3)充分信任和授权团队

要做到前面两点,都需要你有靠谱的团队。管理中最主要的任务之一,就是识别出那些不需要你管理都很自驱的人,给他们搭台子,让他们成长。

以上。