@Lenciel

告别

1

那天午后,雨突然停了。李默提议说在咖啡厅坐了这么久,不如出去走走。

其实没啥好走的。以前河边这片还没修好的时候,我俩经常在这儿附近晃荡。特别是河堤上那条路,疏影横斜,人迹罕至。路肩的绿化带里种满了因无人打理而深不可测的竹子,好几次我们在里面亲得停不下来,连偶尔闯进来的蛤蟆看了都觉得面红耳赤,夺路而逃。更多的时候,我喜欢跟他握紧手然后揣进他裤兜里,肩并肩走上一段,再让他抱着我靠在栏杆上聊天。

现在整个河岸以这个时代特有的高歌猛进的方式被修葺一新,走过去只觉天圆地方,周正敞亮,无处可逃。但总算,也零星点缀着些仿古建筑,让人还有地方装下不足与外人道也的尴尬或伤心。

果然,我们走着走着,路边冒出个歇山顶的亭子。亭檐上窝着只猫,见我们来了也不回避,懒懒一瞥,表情厌世。亭后移栽的朴树有些年纪了,绿荫幽然,鸟声疏落。亭柱上红红的楹联,海枯石烂又语重心长地讲了些做人的道理。我跟着李默缓缓坐进去,心想这片角落真像个过气的陪酒女郎:精心装扮但人老珠黄,来者不拒却即将断片儿,被人遗弃在街角暗处只是时间问题。

「这儿挺适合我的。」看到他不停看手机,我悻悻地说。

「为啥?感觉蚊子好多。」他头也没抬。

我想了想,觉得为啥还是不用告诉他了。

两个人有话直说的前提是有很多话说。过去我们鸡毛蒜皮都相互分享,后来他设置了距离,并将其逐渐扩大。我们不再牵手,不再拥抱,更别说耳厮鬓磨的亲热。这过程中当然也穿插着不少温馨与反复,但总体上朝着他要的方向稳步前进。每当我发现我们之间的某种联结又被他一笔勾销,剥皮离骨般的疼痛总会折磨我很长一段时间。最开始我会找他抱怨,但吵起来我立刻明白了这段关系是谁想扔谁要捡,连抱怨都不敢了。

「没啥。前阵儿你不太舒服,我给你买了个…」

「你看」,他摆摆手没让我说完,「我也想不起来送你点儿什么,所以你也别再送我礼物了。」

一阵熟悉的屈辱感如约而至,我一边回想有啥地方做得不好,一边有点崩溃地问他:「所以你觉得送礼物被拒绝这份难过还不够我受的,非得提醒我还有那份从来收不到你礼物的难过是吧?」

「不要扩大,不收礼物有什么大不了的呢?两个人都少了很多麻烦。」他收起手机,一边从座位上起身,一边把指责的语气换得温柔了些:「不要生气,我得忙了。」

「不然呢?」我在他身后喊道,「我不是生气,我只是难过。」

2

很快就过了晚饭时间,他没有出现,我也没再找他。虽然盼着他来安慰我一下,但我心里明白,就算他出现,多半也是来告诉我「不要生气」,以及分析我为什么应该做到。

这些事情会让我难过,这应该不难理解。而人类从设计上就没法完全承受难过,从来不能。难过只能被收敛到某个特定的点,通过大家一起默契地不去触及,让生活得以继续。但他从不顾忌那些点,还总在开发新的,终于让它们连成线,织成网,搞得我如履薄冰,无法呼吸。

我越想越气,跑到厨房找了瓶酒,恶狠狠地往喉咙里灌,好像要把什么东西浇灭。

「你是不是感到特别痛苦?」不知道过了多久,突然有个声音问我。

我转头一看,家里不知何时进来了个外国人。四十来岁,一身看得出价格不菲的燕尾服,脸上挂着痞痞的笑容。关键是帅,帅得让人忘了大喊救命。

「你是谁?」

「你们的第一个问题总是这个。简单来说,我是主管你们生前死后一些程序的神。」

「在骗子里,你算长得好看的,而且,你的中文也很不错」,我一边说一边感觉自己脑子挺清醒的,不像喝多酒醒来。

「语言可以根据交谈对象来定,形象方面,我选了《Babylon》里布拉德皮特饰演的片商。当然,是在他对着自己的头开枪之前的样子。你是不是不怎么看电影?」

「国外的几乎不看,国产的也看得不多。」

「几乎不看?像这次奥运会开幕式致敬的《祖与占》那样经典的也不看?」

「什么煮与煎?不看,我对那些虚头巴脑的故事不感兴趣。」

「这个开头可不太好。爱看电影的人通常两三句话就说明白了,节约我很多时间。」

「不用那么悲观,也许我没有那么懂电影,但在突然被夺走点儿什么这方面,我相当有经验。」

于是他简单开了个场,大概说明了本次聊天是我魂飞魄散前发生的最后一件事,那之后,我就已彻底死掉。然后强调了牛头马面,黑白无常,都是人类因为惧怕死亡带着偏见的臆想,他会精心选择对当事人而言赏心悦目的形象,并且独立对整个东亚地区的相关事务全权负责。

「至于选择当事人的根本原因,也不是很多东方人以为的因果业障,我这边解决的,主要是结构性问题。」

「结构性问题?」

「再不看国外电影,《这个杀手不太冷》总看过?Leon 要继续存在于 Mathilda 的世界,就有结构性问题,所以他必须死掉。」

「没看过,国外我只看伍迪·艾伦。另外,我觉得李默想分手应该当面来说清楚,这样的恶作剧有点不尊重人。」

「所以你喜欢讽刺?」

「只看表面的人才会觉得伍迪·艾伦在讽刺。其实生命也好,爱也好,就是戏里那样荒唐,说不定比戏里还要荒唐。每个人都泥沙俱下,也正因为此,才值得好好被爱,也应该好好对待自己爱的人!爱不仅仅是那些阳光美好的东西!」

说到最后一句,我的手重重拍在桌上,酒瓶跌落,碎了一地。

他好像对谈话这样激烈早有预期,一边收拾地上的玻璃一边平静地说:「你看,这就是结构性问题。国外电影看得再少,总看过《英雄本色》?」

3

「是那个偷画的电影?好多我喜欢的演员,特别是哥哥。」

「同样的导演,但那部是《纵横四海》。《英雄本色》要早一些,狄龙演的豪哥是黑社会,张国荣演的弟弟偏偏是警察。周润发演了个很仗义的英雄人物,小马哥。」

「小马哥有印象,咬着牙签子弹总打不完。但,你想说什么?」

「结构性问题。可还记得豪哥和小马哥山顶那场戏?」

「完全没印象。」

「我猜也是,所以叫了张国荣过来,我演豪哥,他演小马哥。」

「开什么玩笑?」

「狄龙和周润发现在也不能叫嘛。张国荣没关系的,当年他也是我接的,算是老相识了。而且他一直都想找机会演演小马哥:当年那部戏上映,人人都喜欢小马哥,他却演了非要按规矩办事害了大家的弟弟,经常走在街上被人拦下来劈头盖脸地骂。」

很快,哥哥来了。他还是那么年轻,长长的睫毛,一笑起来就让人觉得有些撒娇的媚态。人在最好的年纪走掉未尝不是件好事,至少会按自己走掉的样子被记住。

他们简单准备了一下,就开始演了。

小马:「我们过去干什么都那么厉害,难道不能再干一票离开香港吗?」
豪哥:「你不要逼我,我不会再干了。以前的事,都已经过去了。」
小马:「还没有过去,我还没有死。我不逼你,我从不逼你做你不想做的事,但我也有自己的原则!你看看你像什么?你争取过机会吗?你没有!如果我们都像你一样,我们就什么都没有了!」

最后一段,哥哥演得很投入。他的声调变了,眼眶也有点发红。我也明白了这场戏的意思,眼泪止不住地洒落。

「你看,都不是坏人。但警匪两兄弟要和好如初,小马哥也就只剩下死路一条。」

「难怪我经常梦见和他困在同一片沙漠里,却总也找不到他。我们在同一口井里取水,在同一块沙丘上休息,但我就是联系不上他。其实沙漠不是原因而是结果。如果不是只剩我孤零零一个人了,我根本就不会感觉自己身处沙漠。」

「你确实是明白人,就好好跟我走吧。我的任务就是让你们这类人走得平缓一些,不然做鬼也不放过可不是说着玩的。」

我以前从不相信任何神秘体验,没想到一上来就遇到自己要死,心里很复杂。坦然甚至是轻松多少有一些,但想到李默,更多的还是舍不得。

「我不能就这样走了,我要好好告个别。」

「不能告别。人多迟觉,没法好好告别的大有人在,让你做了,就破坏了公平。而且你三魂中胎光、爽灵已散,七魄也早入地渊。不到下次轮回它们聚到一起的时候,你根本没个人形,怎么去跟他好好告别?」

「任何办法都没有吗?」

「有个几乎没人会选的办法:你可以写一段文字给他,但代价是,他只要看了,等他死后来到我们的世界,将完全不记得你。并且,你也永远不能再进入轮回。」

「我选这个。」

「你别冲动。设计规则时,我认真考虑过用户需求。大部分人,会选择马上进入轮回,享受全新生活。少部分的,像张国荣这样,愿意花时间等。因为只要对方死去时仍然记得,就可以在我们的世界团聚并一直生活下去。至于你选的这个,这么说吧,我从你们的汉朝开始接了这份工作,到现在为止,只有十三个人选过,大部分都是非要给自己的孩子留几句话的父母。」

「我就要这个。」

「好吧。按规定,你有两个小时。因为我们不想当事人把这当成拖时间的借口。我待会儿再来找你」,说完他叹了口气,消失了。

4

房间里只剩下我。

雨应景地又下了起来,在窗台上敲出如钟表走时般富有节奏的声响,仿佛在提醒我抓紧时间。一向不擅长写作的我,尝试着仪式性地回忆些往。毕竟是留给他最后的文字,我想要它们温暖一些。

第一次约会是我约的他。夏天还没来,先在我家附近散了会儿步,然后找了根长凳坐下聊天。不知不觉夜就深了,但我们继续低声说着话,谁都没有要结束的意思。具体聊了什么,我也几乎忘了。但记得问起来他怎么注意起我的,他说好像也没有为什么,就一直挺注意的,经常盯着我看。我表示不信。他有些着急,认为我把他好容易坦白的浪漫情愫降格为花言巧语,义愤填膺。

他平时是有些冷漠的——有段时间我错误地把这种冷漠美化成某种古典气质,后来知道那冷漠就只是冷漠——那是我第一次看到他有些敏感的一面,突然就觉得好像被他接纳,并为之倾心。

过了几天,他主动约我,说出去走走。没多久,我们默契地走进个没有旁人的空间,一声不响地并排坐下。我偷瞄他的侧脸,感到他会抱我,手脚冰凉地冒出汗来,脸不知道是白了还是红了。他似乎从我的神情中读出一份许可,抓着我的手把我拽过去吻了起来。这比我预想的进展要快太多,让我脑子里一片空白。但我只是颤抖了一下,就有些开心地回应起他来。

那天晚上,他送我回家。这条过去我感觉漫长到有些辛苦的路,跟他走起来真短。葡萄的须卷了,麻叶绣球开了又锈,秋天即将来临。我握着他的手,还嫌不够,就问他能不能一起揣进他裤兜里。他说这有什么不能的,只要你不怕热。当时我不知为何有这个想法,好像是很怕他突然抽开手就地失踪。

那之后,我们发展得很快。有次晚上做完爱,他趴在我腿上睡着了。我拉了被子的一角给他盖上,手顺着他的脊背来回抚摸。一地月光,有穿堂风吹过,我的影子也在他身上移来移去,像某类童话,甜蜜而隽永。我忍不住用手指在他的肩膀上写起自己的名字,写着写着,突然哭了起来。他被我弄醒了,问我怎么回事。我也说不清,好像是种烦恼,又不是日常生活中那些琐碎的烦恼。我想了一下,只好说,我小时候家里的气氛很冷,你答应我,不要和我冷战,不要在我难过的时候扔下我不管,不要突然消失不见。他笑着说,我们生个孩子吧,我白了他一眼,说你这样转移话题,是不是不敢答应…

回忆这些很容易让人忘记时间,并且它们哪些是牢靠的事实,哪些是虚假的幻想,也不好说。总之西装男出现时,我在字条上还没有写完想要留下的话。

「是不是跟其他人一样,还没有写完?」

「是啊。但你放心,也快完了,我不会申请额外的时间。」

「没关系,多给几分钟问题不大,反正你已经没有任何后续的安排。」

「那些看到留言的人一般是怎样的反应?」

「少数的会有些惭愧,但都是那种转瞬而逝的惭愧。大部分会悲伤,没有当事人以为的那么久,甚至没有那些看到留言的人自己以为的那么久。」

「嗯,跟我想的差不多」,我终究还是落下泪来。加上也不知道自己究竟还剩几分钟,心里有些慌乱,字就写得越来越潦草,「但我还是很感谢他,给我有限的生命很多慰籍。所以我也很感谢你,在写这些遗言的时候,不少好像已经很遥远的美好瞬间,挤满了这个阴沉沉的房间,让我感觉好多了。」

他点点头,像是表示赞许。很快,我发现自己在纸上的笔画开始如射向雨束的灯光,没有着落。窗外云涛微茫,风在拼命地喊着什么,世界随之飘荡。我多想李默马上能推开房门出现在我面前,但我的身体,和笔下那些模糊的字迹一样,开始徐徐消散。

欧拉恒等式是啥意思(2)

上次我们主要说了数系的基本概念,以及 \(e\) 怎么被雅各布·伯努利在研究复利的过程中发现,又由欧拉在后续的研究中正式命名。

继续讲它跟三角函数、复平面的关系之前,有个不能绕过去的问题:大人们介绍 \(e\) 的时候总说它是自然常数,因为是自然对数的底。但发现它的过程里为啥没有出现对数呢?而且,这么个无限不循环的数,又自然在哪里呢?

目录

对数

知道 \(e\) 是算复利的时候发现的,就明白先有「自然对数」,然后它的底被叫做「自然常数」是错误的理解。

是人们先把 \(e\) 叫成了「自然常数」,然后它作底的对数才叫「自然对数」。

容易有这样的误会,是因为对数和指数是一对逆运算。很多人会觉得,它们应该是一起被发明,然后人们再研究里面包含了自然常数的特例。

实际上,对数先于指数,被独立发明。只不过像指数问题一样,\(e\) 的身影也穿插在对数问题的研究过程中,始终闪闪发亮。

对数的发明

对数大家公认是约翰.纳皮尔发明的,比指数来得早一百多年,目的是为了简化计算。

人类像今天一样计算设备触手可及的历史并不长:你爷爷年轻的时候在地质队还得用计算尺,好的计算器卖得很贵。

所以几百年前,有些如天文学家、航海家的职业,每天手搓 25325233*1.3235456 这样的计算很多次,非常崩溃。这时候已经有人(比如开普勒的老师第谷·布拉厄这兄弟据说是《哈姆雷特》的原型,八卦很多,有兴趣你可以看看)用一些公式把乘除法变成加减法然后直接查三角函数表来简化计算:

\[2\sin(A)\cos(B)=\sin(A+B) + \sin(A-B)\]

于是天文学家和数学家们就开始考虑更具普遍性的「乘除法变成加减法」。约翰.纳皮尔大概在 1594 年据传是从国王的御医那里了解到第谷的做法,二十年后,于 1614 年 6 月出版了《A Description of the Admirable Table of Logarithmes》(为什么用了二十年?我猜他想法形成很快,但手搓了数百万次超大数字的乘法计算,花掉了二十年)。

在这本书里,纳皮尔定义了所谓的「纳皮尔对数」从结构上不难猜到,这是滑动计算尺的祖先。

napier_log.png
图 1. 纳皮尔书里对数定义的插图

这张看起来有点不知所云的插图现代化一点的版本在这篇文章里面有:

napier_log_exp.png
图 2. 纳皮尔对数的现代化解释图

首先,纳皮尔构造了两个运动的粒子有人觉得纳皮尔这样用运动模型去研究数学问题实在是匪夷所思。但我觉得这是因为他同时也研究天文的原因:这个模型本质上类似于在动得很慢,而且是越来越慢的天体上,看离自己越来越远的另一个天体,从而对应了指数增长慢,对数覆盖广的制作对数表的条件。 。上面那个粒子 \(b\) 在一条无穷长的射线上做匀速运动;下面那个粒子 \(\beta\) 和它同时以同样速度出发,然后在下面那条有限长度的线段 \(\vec{\alpha\omega}\) 上做变速运动,其运动速度取粒子到线段终点的距离 \(x\) 的数值。

然后纳皮尔定义 \(b\) 粒子距离起点 \(A\) 的数值 \(y\) ,就是 x 的纳皮尔对数:

\[NapLog(x) = y\]

为了制作对数表,纳皮尔需要 \(\vec{\alpha\omega}\) 的长度是个足够大的数字。参考当时的三角函数表是七位数字,纳皮尔最终把 \(\vec{\alpha\omega}\) 的长度定为 \(10^7\) (估计再大他这辈子也算不完了),得到:

\[NapLog(x) = 10^7\ln(\frac{10^7}{x})\]

于是一个纳皮尔对数求底是:

\[x = 10^7(1-10^{-7})^{NapLog(x)}\]

最终他给出的就是一张布满了密密麻麻数字可以正着查也可以反着查的对数表:

Napier's_Mirici_Logarithmorum_table_for_19_deg.agr.jpg
图 3. 纳皮尔二十年的心血主要就是这张表

下面我们来试试这个对数表有多厉害。

任选两个 100000-2000000 之间的大数,求它们的乘积的平方根。然后,我们对比一下直接用它们的纳皮尔对数求和后平均,再求底的结果。

看最后一行的红色误差可以看到,无论数字怎么变化,误差都不会超过 1

对数的发展

和纳皮尔几乎同时期,并且在很多地方被认为和纳皮尔是对数的共同发明人的约斯特·比尔吉,是一名瑞士钟表匠、天文仪器制作师和数学家。

他独立于纳皮尔发表了另一张对数表,两者实际上的区别是底数上的区别:纳皮尔使用了\(\textstyle (1-10^{-7})^{10^7}\),而他使用了\(\textstyle (1+10^{-4})^{10^4}\)。

同时,英国数学家亨利·布里格斯在纳皮尔的书出版了两年后,到爱丁堡拜访了他,然后于次年提出了一些改进意见,包括以 10 为底的对数的使用,也就是今天我们常说的标准对数\(\textstyle \log_{10}(x)\) 或者记作 \(\textstyle \lg(x)\)。

1624 年,亨利·布里格斯出版了对开本《Arithmetica Logarithmica》,其中包含三万个自然数的对数,精确到小数点后 14 位(\(\textstyle [1, 20000]\) 和 \(\textstyle [90001, 100000]\))。

荷兰数学家兼出版商佛拉哥在布里格斯的基础上加以改进(主要是补齐了 \(\textstyle [20001, 90000]\) 的部分),他的这张对数表在欧洲迅速普及开来。

但这项关于数字覆盖量和精度的比赛还没有结束,比如汤普森在 1652 年发表了一张和佛拉哥同样范围的对数表,但通过插值算到了小数点后 20 位。

自然常数与自然对数

对数发展到这里,大家对于大数乘除计算的需求基本被满足了,接下来事情的发展很有趣。

大约 1665 年,牛顿把 \(\textstyle {\frac {1}{1+x}}\) 展开并逐项积分,得到了自然对数的无穷级数,但是他没把这东西叫做「自然对数」的无穷级数。

这个叫法最早见于尼古拉斯·麦卡托在 1668 年出版的著作《Logarithmo-technia》,他独立发现了同样的级数,即自然对数的麦卡托级数,也称为牛顿-麦卡托级数

后来,在 1690-1691 年间,莱布尼兹给惠更斯的信中提到了自然对数的底,不过当时他用的字母是 \(b\),因为那时候就没有标准,大家都随意使用自己选择的字母来表示。

接下来,上篇提到的欧拉,从 1727 年开始频繁使用 \(e\) 来表示自然常数。

大约 1730 年,欧拉正式定义了互为逆函数的指数函数和自然对数但是今天这种 \(\ln(x)\) 形式的记号又要等到 1893 年皮亚诺提出才有了。

\[e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n} \iff \ln(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }n\left(x^{\frac {1}{n}}-1\right)\]

你看,完全是另外一条线的人,推导出了自然常数,然后最终定义了自然对数。理解这是怎么回事,也就理解了为什么 \(e\) 是「自然」的。

\(e\) 「自然」在哪里?

数学这个体系,从数字到运算,大部分是人类「定义」出来的。

哪怕是无理数,我们定义圆的周长比上直径是 \(\pi\) ,我们定义 2 的平方根是 \(\sqrt{2}\) 。

因为我们给了定义,所以它们很好理解——也所以,它们不是「自然」的。

反观 \(e\),它无需人类定义,就躺在那里,等着人类去「发现」:数学史上这样的情况并不多,何况,这个发现过程是从对数和指数两个方向,不断靠近的。

对数里的「自然」

纳皮尔、比尔吉、布里格斯这些人,他们弄对数的出发点是解决大数计算,需求就是对数字的覆盖面大,精度高。

他们构建整个体系,根据的是自己的经验:长期弄天文对运动的理解,代数到几何的映射等等。里面数字的选择,就更是这样了。

为啥纳皮尔要用 \(10^7\) 这么大的数字作为 \(\vec{\alpha\omega}\) 的长度?因为他「发现」,这样做出来的对数表数字密度才够。

当时的纳皮尔没法理解的是,自己凭经验做的这些操作,实际上是选择了 \(\textstyle (1-10^{-7})^{10^7}\) 作为底数:它非常接近于 \(\frac {1}{e}\)。

同样的,比尔吉也不知道,他选择的 \(\textstyle (1+10^{-4})^{10^4}\),非常接近于 \(e\) 。

这个反过来想很好理解。 比如以 2 为底的对数,逆运算其实是 2 为底的指数:

\[y = log_2 x \iff 2^x =y\]

因为 \(2^x\) 增长很快,\(2^{10}\) 就 1024 了,那么要查比如 798 的对数,可能就会查不到,这就是前面说的数字密度不够的问题。

很显然,要增加对数这边数字密度,就需要指数那边增长别太快,于是底数只能选比 1 稍微大一点的数。

所以,大家其实是沿着 \(\textstyle 1+{\frac {1}{10^n}}\) 在找,只是 \(n\) 取多大,就看当时人类手搓的上限了。

当 \(n\) 变得足够大,人们会发现什么呢?人们「自然」会发现 \(e\)

\[e=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{10^n}}\right)^{10^n}\]

指数里的「自然」

\(e\) 被雅各布·伯努利在研究复利的过程中发现。

被发现而不是被定义,仍然是称它「自然」的一个主要原因。

但因为研究的是增长而不是大数计算,所以指数领域的 \(e\) 有更自然的部分:

\[e=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\]

这个式子其实说明了,\(e\) 是单位时间内翻倍增长所能达到的上限。

正好,自然界的增长,比如细胞分裂等等,都是单位时间倍增的。

这大概就是为什么小到葵花籽排列,蜗牛或贝壳的花纹,大到低压气旋甚至星系旋臂都是对数螺线的原因。

所以,雅各布·伯努利对对数螺线非常着迷,甚至要把它刻在自己的墓碑上。

只不过,那个时候的石匠没有你学习数学的条件,给他刻错了。

bernoulli_tomb.png
图 5. 伯努利想要死后继续倍增,结果被整成了等速