@Lenciel

亮仔

本系列是,本座一支无用笔,记下几个非凡人

亮仔是龙泉驿人。

龙泉驿本来叫灵池:旁边的分栋山上,曾有一眼清泉汇于山腰,甘甜怡人,颇有灵气。

但从明代开始,灵池设了驿站,从此改名「龙泉驿」,分栋山,也就改名叫「龙泉山」了。

驿站带来热闹和繁华,山上的松柏被尽数砍掉,种了果树。

主要是桃树。

所以龙泉驿产桃。

六月出「春蕾」,七月出「白凤」,八月有「晚湖景」。

因此,龙泉驿是春游胜地,但我没怎么去过。

总觉得桃花开成了片,有些过于妖媚。

知道这些,是因为亮仔常常送我们桃子。

他是个讲究人。

工作上,他代码写得扎实,而且有越来越扎实的趋势。

生活中,是挺时髦的小伙。光说他究竟是什么发型,我就从来没有搞明白过。踢球,他身上装备齐齐整整,还能在后备箱里再端出标志盘、障碍筒、简易球门和十来个足球;上班,他无论是到哪儿办公,总能很快就支棱起升降桌、机械键盘、降噪耳机、三五个闪闪放光的杯子。

他说家里有七八种锅,我们赶紧捂住耳朵不听他讲每种锅的用法。

刚认识那会儿我会担心,他杀鸡用了牛刀。相处多了发现,他并非炫耀武力,而是只有牛刀。

所以他送桃子,也不是简简单单就给你寄一箱桃子。时间,品种,包装,都有考虑。经常还开个车,挨家挨户给送到门口。

总有人问,这么个热心肠的帅小伙,怎么还单着呢?

我没问过,但有次酒过三巡,亮仔两手一摊,自己交代了。

原来亮仔读大二的时候,在协会里认识了一个大四的学姐。

学姐很优秀。学姐很漂亮。学姐还有个异地的男友,准备毕业了就去团聚。

熟悉起来以后,他带学姐逛过几次龙泉驿。

九曲十八弯的道路,丘包连绵,草木葳蕤,线条柔和,给人一种富足而温厚的感觉,就像学姐一样,很耐看。

慢慢两个人就牵起了手。亮仔温热的手汗津津地告诉了学姐很多意思。终于有天,学姐来找他说,做男友可以,有要求若干。

「我当时就怕了」,亮仔仰头就是一杯。

爱就是这样,常常并不壮胆,反而让人觉得如临深渊,如履薄冰。

但也没断绝来往:学姐毕业后,没去国外,留校任教。两个人远远近近地相处了四年,直到亮仔临着毕业,跟迎新认识到姑娘谈起了恋爱。

「我叫她台柱」,亮仔说,「不仅人漂亮,一口主持人范儿的普通话说得特别标准。结果,一想到我毕业之后两个人怎么办…我怕了」。

「工作之后,还被一个女孩儿倒追过。没多久,听她说了自己家里的条件,特别好…」

「你怕了」,我已经可以自动补全。

如果其他人这么说自己的感情,我大概会认为那些「怕了」只是始乱终弃的借口。

但我见识过亮仔面试和职级答辩。

他是真不自信。而且,他不自信的时候,不熟悉的人,容易分不清他是紧张还是嚣张。

我问他为啥这样,他没说,只支吾了几句成长过程里,和长辈们的不愉快。

那个年纪,很多时候我们都不明白,每天需要面对的,处处影响我们生活的人为什么是这样的,而不是那样的。也搞不清,父母师长,到底为什么有那么多的事情值得争执、讨伐、坚持、妥协,为之喜悦、哭泣、焦虑,又再谅解。

天色在亮仔的讲述中黯淡下来,我们的话也少了,只是不停举杯。

喝到最后,我拿筷子沾酒,在桌子上送了他一首诗。

离开成都后,我吃不到桃子了。但有一次他听说我常常胀气,给我寄了一箱八宝粥,两袋牛肉和四盒达喜。随着包裹而来的,还有一份说明书,详细描述,粥怎么配肉,药如何下饭。

他还花很多时间健身。日出而作,日落而息。但和奶哥不一样,他不冲着刷脂或者增肌。

对着我们的镜子跳跳操,拉拉伸,别人看起来简简单单的东西,他总能玩出很多乐趣。

送他那首诗,是南怀瑾的:

青山入梦照平湖,
外我为谁倾此壶。
彻夜翻经忘已晓,
不知霜雪上头颅。

常泰写的是哪山哪湖,我不知道,只是当时觉得,很适合容易纠结的龙泉驿的亮仔。

现在,他每天锻炼完,十点钟就上床睡觉。大概早已经没有问题还能让他辗转反侧了吧。

他的泡沫轴和锅一样多了!

如何计算圆周率

Matt 这两天告诉我,既然 \(\pi\) 是一个无理数,也就是每一位没有什么规律和道理,那人究竟是怎么把它每一位是多少算出来的呢?

圆周率历来被数学史家认为是衡量一个民族古典数学文明之发达的尺度。

中国古代在很早的时候就开始使用「周三径一」的圆周率, 也就是取圆周率为 3 。

公认最早「优秀地」算出圆周率的,应该是要用一个支点翘起地球的阿基米德。他使用的割圆法也是最容易掌握的徒手计算圆周率的方法:当时他用了正六边形,算出来 \(\pi = 3.14\) 。

中国的刘徽,也独立的发现了「割圆术」。他用正 96 边形,割出了 3.1416 这个结果1

简单来说,「割圆法」和「割圆术」的区别主要是,一个用长度,一个用面积,来计算比例和结果。

最有争议的是南北朝数学家祖冲之的成就。他自己的著作《缀术》,曾经在唐代初期被收录在《算经十书》中,选作当时国子监算学馆的教材。但因为内容十分艰深,习者寥寥(有说法学这本书需要四年), 因此, 在北宋重新刊刻《算经十书》时, 它已经失传。

好在,唐初编撰《隋书》,在《隋书·律历志》里对祖冲之的结论有准确的记载:

古之九数,圆周率三,圆径率一,其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒,各设新率,未臻折衷。宋末,南徐州从事史祖冲之,更开密法,以圆径一亿为一丈,圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正数在盈朒二限之间。密率,圆径一百一十三,圆周三百五十五。约率,圆径七,周二十二。又设开差冪,开差立,兼以正圆参之。指要精密,算氏之最者也。所著之书,名为《缀术》,学官莫能究其深奥,是故废而不理。

可以看到祖冲之的成果有两个:

  1. 圆周率在盈数(3.1415926)和朒数(3.1415927)之间,用现代数学的话来说,就是 \(3.1415926< \pi < 3.1415927\) ;
  2. 提出了两个圆周率的近似率:密率(\(\frac{355}{113}\))和约率(\(\frac{22}{7}\))

这个成就非常厉害:

  • 首先,它保持了世界最准确圆周率达 900 年之久;
  • 其次,在分母 < 16604 的一切有理数中, 密率 \(\frac{355}{113}\) 是最接近圆周率的分数。

那么,他怎么算出来的呢?

很多地方2认为他还是用的「割圆术」,只不过他采用了 24576 边形来割。

我是不太相信任何聪明人会用这种笨办法的。而且,要精确作图和测算两万多边形,在当时的工具条件下,好像也不现实。

所以,华罗庚曾经推测, 它应当是连分数展开或与之相当的算法的产物3。这样的联想也很容易理解,因为祖冲之给出的约率和密率都是分数,而连分数一个主要的用途就是拿有理数表达无理数4,比如:

\[\sqrt{2} = 1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cdots}}}\]

但这个说法也有点牵强,因为祖冲之除非事先知道 \(\pi = 3.1415926\) ,并且知道连分数,然后反算出来:

\[\pi = 1+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{15+\cdots}}}\]

来得出圆周率的渐进分数\(\frac{3}{1}\),\(\frac{22}{7}\) ,\(\frac{333}{106}\) ,\(\frac{355}{113}\)…不然他的分母是怎么来的呢?为什么不是高斯那样:

\[\pi = 4 \div \left(1+\cfrac{1\cdot1}{3+\cfrac{2\cdot2}{5+\cfrac{3\cdot3}{7+\cdots}}}\right)\]

或者朗格那样:

\[\pi = 3+\cfrac{1\cdot1}{6+\cfrac{3\cdot3}{6+\cfrac{5\cdot5}{6+\cdots}}}\]

所以,我之前偶尔看到一位大学教授专门写了一篇 blog,在里面列举了从瓦里斯到泰勒到高斯到朗格的各种跟 \(\pi\) 有关的序列和级数,最后喟然长叹,\(\frac{355}{113}\)怎么可能是算得出来的呢?

我看过的最让我信服的说法是,祖冲之可能是用了何承天调日法

调日法是一种系统地寻找最佳逼近以表示天文数据或数学常数的内插法,用它来计算圆周率,在这篇论文里面有比较详细地描述。

我觉得这种说法最可信是因为:

  1. 两个人同在南北朝,祖冲之自己也是历法专家,且熟练使用调日法。
  2. 祖冲之它只需要以 3 为弱率,以 4 为强率,计算 7 次就可以得到约率 \({22 \over 7}>\pi\) ,计算 23 次就可以得到密率 \({355 \over 113}>\pi\)。

References:

  1. 为了验证这个近似值的正确性,刘徽自己又继续割圆到圆内接3072边形,结果也是 3.1416 。后来就有人误认为刘徽是一直割圆到圆内接3072边形才得到结果的。 

  2. 这可能主要是因为,清阮元撰《畴人传》里考据说:「后祖冲之更创密法,仍是割之又割耳,未能于徽注之外,别立新术也」。这个说法也被吴文俊主编的《中国数学史大系》采信。 

  3. 连分数就是 \(a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cdots}}}\) 这种造型的,分母都为 1, 分子是正整数的连着的分数。它还有一个写法是 \([a_1,a_2,a_3,\cdots]\)。 

  4. 这是数论里面的一个分支,叫做丢番图逼近。